kettes számrendszer

kettes számrendszer

A mindennapi életben a [10-es számrendszer]?t használjuk. Mivel minden számítógép elektromos alkatrészekből áll, így ezt nem tudja közvetlenül értelmezni. Ezért használjuk a kettes számrendszert, vagy bináris számrendszert. A bináris számrendszer legkisebb elemi egysége a bit, és a lényege, hogy az elektromos vezető egy pillanatban vezet (1), vagy nem vezet (0). Az értéke 1 vagy 0 lehet. Minden információ kettes számrendszerbeli számok formájában van ábrázolva. Minden adat és utasítás kettes számrendszerben van a gép memóriájában kódolva.

Szerencsére ez nem azt jelenti, hogy nekünk is kettes számrendszerben kell gondolkodnunk, és mindent információt így kell megadnunk, mert a számítógép elvégzi helyettünk az átváltást.
A kettes számrendszerbeli nagy számok csak nagyon hosszú karaktersorral jeleníthetőek meg. Ekkor használjuk a 8-as (oktális) számrendszert vagy 16-os (hexadecimális) számrendszert.
A számítástechnikában használt alapmértékegység az 1 byte, amely 1 karakter megadására elegendő információmennyiség.
 

Konverziók számrendszerek között:

1: Átváltás 10es számrendszerből n számrendszerbe
szám₁₀ => szám_n     szám₁₀: n

A 10-es számrendszerbeli számot osztjuk az alappal.
Az egyes maradékok fogják adni az egyes helyi értékeket a legkisebb helyi érték felöl a legnagyobb felé.

   
41₁₀ => 101001₂
41 : 2 = 20              20 : 2 = 10          10  : 2 = 5      5 : 2 = 2          2 : 2  = 1          1 : 2 = 0
     1                               0                        0                  1                     0                       1                         <=
         

1997₁₀=> 7CD₁₆
1997 : 16  = 124       124  :  16 = 7       7   :   16 = 0
        13 (D)                    12  (C)               7              <=
 

2,  Átváltás n számrendszerből 10es számrendszerbe

szám_n=>szám₁₀
Bármely 10-es számrendszer beli szám felírható: alap⁰ * legkisebb_helyiérték + alap¹ + legkisebb helyiérték+1+ alapⁿ *  legkisebb_ helyiérték +n alakban.
Ezen alapul az átváltás 10-es számrendszerből n számrendszerbe.

3FFF₁₆=>16383₁₀   
3FFF16 = 3*16³ + F*16² + F+16¹+ F*16⁰= 12288+ 3840+ 240+ 15= 16383

101011₂=>43₁₀     

101011₂=1*2⁵ + 0*2⁴+ 1*2³ + 0*2²+ 1*2¹+ 1*2⁰ = 32 +8 +2+1 = 43  


Műveletek kettes számrendszerben:

1, Összeadás:
Bitenként adjuk össze a számokat az előző átvitelek figyelembe vételével.
Az egyes bitösszegeket a összeadandó bitek kizáró-vagy kapcsolata adja meg.
                             
0+0=0                                         0101001

0+1=1                                      +       1001
1+0=1                                                        

1+1=0 (maradék 1)                       110010

 2, Kivonás:

A kivonás az összeadásra vezethető vissza az A-B=A+(-B) összefüggés alapján. Azaz a kisebbítendőhöz hozzáadjuk a kivonandó    ellentettjét.
Kettes számrendszerben egy szám ellentettjét kettes komplemensnek nevezzük.

Kettes komplemens előállítása:
1., képezzük a szám egyes komplemensét, ezt úgy tesszük, hogy a számot bitenként invertáljuk. Majd az így kapott egyes komplemenshez hozzáadunk 1-et.  Így kapjuk a kettes komplemenst számolással.
2., jobbról az első 1-ig leírjuk változatlanul a biteket (az első 1-et is), majd innen kezdve invertáljuk a biteket. Így kapjuk a kettes komplemenst mechanikus úton.
Pl.:
1011101-nek az ellentettje az 100011 bináris szám.
- egyes komplemens előállítása: 0100010
- kettes komplemens előállítása:
                                                             010001 0
                                                           +            1

                                                                               
                                                                100011
        

Példa kivonásra.
         100011-101010
         101010 kettes komplemense 10110
                        100011
                      +  10110   

                                      
                        111001
 

3. Szorzás:
Bitenkét összeszorozzuk a számokat, majd az összeadásra vonatkozó szabályokkal összeadjuk az egyes részszorzatokat.
Példa szorzásra:
                   1011*101
                   1011
                   0000
                   1011

                            
               110111


4. Osztás :

 pl. 

               1010 : 10 = 101                       1111:11=101

               001                                          0011

                   10                                            00

                     0
                

A kettes számrendszer helyiértékei:
20=1; 21=2; 22=4; 23=8; 24=16 stb.
Egy kettes számrendszerbeli szám tízes számrendszerbeli értékét úgy kapjuk meg, hogy az egyes helyiértékeket elfoglaló bináris számjegyeket (0;1) megszorozzuk kettőnek a helyiértékéből adódó hatványával, majd a kapott értéket összeadjuk.
Pl.: 11001=1*24+1*23+0*22+0*21+1*20=16+8+0+0+1=25
Tízes számrendszerbeli szám binárissá való átírását a következőképpen végezzük: az átírás sorozatos osztásokkal végezhető el, és a maradékok adják a kettes számrendszerbeli számjegyeket. Az osztást addig végezzük, amíg a hányados 0 nem lesz. A maradékokat visszafelé kell leírni!

Pl.: 83/2=41 és 1-et ad maradékul
      42/2=21 és 0-át ad maradékul
      21/2=10 és 1-et ad maradékul
      10/2=5 és 0-át ad maradékul
       5/2=2 és 1-et ad maradékul
       2/2=1 és 0-át ad maradékul
       ½=0 és 1-et ad maradékul
        83=1010101

A számítógép alap műveletegysége az összeadás. A többi műveletet ennek segítségével tudja elvégezni.

Forrás: www.freeweb.hu